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磁场仅仅是电场变化而来的

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张祥前DS 发表于 2014-10-17 11:36 | 显示全部楼层

文斜字体为矢量。
网上有很多利用相对论导出麦克斯韦方程中变化电场产生磁场的论文,但是,都用到场论等高深数学,这里尝试仅仅用简单微积分从相对论导出麦克斯韦方程,这样做一个好处是直观明了。
   相对论认为,一个点电荷Q相对于我们观察者以速度v匀速直线运动会引起电场E发生变化,变化的部分我们可以叫磁场B,
B = v×E /C2
由于B和v以及E相互垂直时候,B的值最大,因而是叉乘。
我们在这里不作一般推导,给出最简单的点电荷、真空下的情况。
麦克斯韦方程认为,在某一个时刻,在点电荷Q附近某处自由空间中,不存在其他电流的情况下,变化的电场E可以产生环绕磁场B,且满足以下关系:
∮ B•dL = (d/dt C2) ∮s E•ds
以上就是麦克斯韦的位移电流假设,C是光速,ds为矢量面元,t 为时间,d是微分的意思。L是沿B方向的几何线量,方程左边是环路线积分,右边是环路面积分。
我们知道,速度包含了时间,随速度变化意味着肯定随时间变化,所以,应该可以从相对论中导出麦克斯韦的变化电场产生磁场的位移电流假设,下面来给出推导过程。
我们将方程B = v×E /C2两边点乘一个微小的空间长度矢量dL(方向和B同向时候,B•dL的值为最大) ,结果为:
B•dL =(v×E /C2)•dL = (1/ C2)(dr/dt ×E)•dL
= (1/ C2dt)E•(dL× dr)
   在下图中,Q点在直角坐标系的原点上,并且以速度v(远小于光速C)沿x轴匀速直线运动,我们以一个高斯面S包围Q点,我们考察S上一点P 电场和磁场情况。 未命名麦克斯韦.PNG

    由于dL和dr相互垂直时候,相乘数值最大,因而(dL× dr)可以看成一个矢量面元,这个矢量面元的方向和E一致的时候,
E•(dL× dr)的值最大。因而dL× dr可以看成高斯面S其中的一小块矢量面元dS。
如果我们将方程B•dL  = (1/ C2dt)E•(dL× dr)
两边的变矢量微分dL求环量积分,
∮L  B•dL  = (1/ C2dt)E•∮L  (dL× dr)
方程右边的矢量面元dS = (dL× dr) 变成了一条带状环形面积,宽度为dr,如上图所式。
∮L  B•dL = (d/dt ∮s  E•ds)/ C2
左边取环绕一周的线积分,右边取环绕一周的线积分和dr的乘积,也可以记为面积分,两个积分区域是相同的,都是角度从0开始到2π结束,因而对方程B•dL = (1/ C2dt)E•(dL× dr)两边的空间变量求环路积分,等式仍然成立。
∮L   B•dL = (d/dt ∮s  E•ds)/ C2
这个就是麦克斯韦位移电流假设,注意,积分∮B•dL是沿B的环绕方向的线积分,∫s  E•ds是高斯面积分,当dr无限缩小,这个带状高斯面就转化为一个线状圆周,可以说,磁场B是电场E在高斯面S上,因为高斯面S变化而产生的圆周界线。。
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