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    从相对论导出麦克斯韦方程的一种尝试

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    张祥前DS 发表于 2014-8-17 09:09 | 显示全部楼层
    网上有很多利用相对论导出麦克斯韦方程的论文,但是,都用到场论等高深数学,这里尝试仅仅用简单微积分从相对论导出麦克斯韦方程,这样做一个好处是简洁明了。

    相对论认为,一个点电荷Q相对于我们观察者以速度v匀速直线运动,在v的垂直方向上的电场E将发生变化,变化的部分我们可以叫磁场B = v×E /C²

    由于B和v以及E相互垂直时候,B的值最大,因而是叉乘。

    我们在这里不作一般推导,给出最简单的点电荷、真空下的情况。

    麦克斯韦方程认为,在某一个时刻,在点电荷Q附近某处自由空间中,不存在其他电流的情况下,变化的电场E可以产生和E相垂直的环绕磁场B,且满足以下关系:

    ∮ B·dL = (d/dt C²) ∮s E·ds

    以上就是麦克斯韦的位移电流假设,C是光速,ds为矢量面元,t 为时间,d是微分的意思。L是沿B的线量,方程左边是环路线积分,右边是环路面积分。

    我们知道,速度包含了时间,随速度变化意味着肯定随时间变化,所以,应该可以从相对论中导出麦克斯韦的位移电流假设,下面来给出推导过程。

    我们将方程B = v×E /C²两边点乘一个微小的空间长度矢量dL(方向和B同向时候,B·dL的值为最大) ,结果为:

    B·dL =(v×E /C²)·dL = (1/ C²)(dr/dt ×E)·dL

    = (1/ C²dt)E·(dL× dr)

    由于dL和dr相互垂直时候,相乘数值最大,因而(dL× dr)可以看成一个矢量面元,这个矢量面元的方向和E一致的时候,

    E·(dL× dr)的值最大。因而dL× dr可以看成高斯面其中的一小块。

    如果我们将方程B·dL = (1/ C²dt)E·(dL× dr)两边的变矢量微分对空间位置求积分,这个方程仍然成立吗?

    我们把矢量方程B·dL = (1/ C²dt)E·(dL× dr)引入直角坐标系xyzo中,设Q点处于这个直角坐标系中,我们观察者处于o点,观察者在某一个时刻t’考察一个场点P,由o点指向P点的矢径为r,设想在时刻t’开始,矢径r的端点P开始变化,r的长度和方向都可以变化,如果在三维空间中画一个闭合的曲线的话,矢量面元dL× dr一定被这个曲线包围,因而方程

    B·dL = (1/ C²dt)E·(dL× dr)

    左边取环绕一周的线积分,右边取环绕一周的面积分,两个积分区域是相同的,都是角度从0开始到2π结束,因而对方程B·dL = (1/ C²dt)E·(dL× dr)两边的空间变量求环路积分,等式仍然成立。

    ∮B·dL = (d/dt ∮s  E·ds)/ C²

    这个就是麦克斯韦位移电流假设,注意,积分∮B·dL是沿B的环绕方向的线积分,∫s  E·ds是高斯面积分。

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